Александр Загоринский родился в 1962 году в Москве в семье музыкантов. В 1970 году поступил в Центральную среднюю специальную музыкальную школу при Московской консерватории имени П. И. Чайковского в класс виолончели преподавателя А. А. Корчагина. С 1973 года по 1981 занимался в классе преподавателя Ю. А. Страшниковой, последовательницы С. Н. Кнушевицкого.
В 1981 году поступил в Московскую государственную консерваторию имени П. И Чайковского в класс народной артистки СССР профессора Н. Н. Шаховской, которая воспитывала в своих учениках верность традициям московской (Козолуповской) виолончельной школы. По камерному ансамблю учился у профессоров А. Л. Зыбцева и Т. А. Гайдамович, по квартету — у профессора А. А. Шишлова. Окончил Консерваторию с отличием в 1986 году по специальности «виолончель» с квалификацией концертного и камерного исполнителя, преподавателя. Затем стажировался у Н. Н. Шаховской в ассистентуре, которую окончил в 1988 году.
В 1987 году поступил по конкурсу в группу виолончелей Академического симфонического оркестра Московской государственной академической филармонии. Работу в оркестре Загоринский совмещал с педагогической, в Музыкальном училище при Московской консерватории, и концертной деятельностью.
С 1999 года Загоринский преподавал виолончель в Российской академии музыки имени Гнесиных.
С 1991 по 2000 год Загоринский служил первым концертмейстером группы виолончелей Академического симфонического оркестра Московской государственной академической филармонии. В этот период он регулярно выступал с оркестром под управлением художественного руководителя коллектива В. С. Синайского. Были исполнены концерты для виолончели с оркестром Р. Шумана, Д. Шостаковича, партия солирующей виолончели в Симфонических вариациях Р. Штрауса «Дон Кихот», «Вариации на тему Рококо» П. И. Чайковского, концерт для скрипки и виолончели с оркестром И. Брамса.
С 2000 по 2007 год был концертмейстером группы виолончелей Государственного академического камерного оркестра России, которым в этот период руководил пианист и дирижёр К. Орбелян.
В 2007 году Загоринский перешёл на основную работу преподавателем в РАМ имени Гнесиных. Также он ведёт класс виолончели в Музыкальном училище имени Гнесиных и в Детской музыкальной школе имени М. И. Глинки.
